Las palabras “óptimas” y “optimizar” se derivan del latín “Optimus” o “mejor”, como en “aprovechar al máximo las cosas”. Alessio Figalli, un matemático de la Universidad ETH Zurich, estudia el transporte óptimo: la asignación más eficiente de los puntos de partida a los puntos finales. El alcance de la investigación es amplio, incluidas nubes, cristales, burbujas y chatbots.
El Dr. Figalli, quien recibió la Medalla Fields en 2018, le gustan las matemáticas que están motivadas por problemas concretos que se encuentran en la naturaleza. También le gusta el “sentido de la eternidad” de la disciplina, dijo en una entrevista reciente. “Es algo que estará aquí para siempre”. (Nada es para siempre, admitió, pero las matemáticas estarán por “lo suficiente”). “Me gusta el hecho de que si demuestras un teorema, lo demuestras”, dijo. “No hay ambigüedad, es verdad o falso. En cien años, puedes confiar en ello, pase lo que pase “.
El estudio del transporte óptimo fue introducido hace casi 250 años por Gaspard Monge, un matemático y político francés que estaba motivado por problemas en ingeniería militar. Sus concepts encontraron aplicaciones más amplias que resolvieron problemas logísticos durante la period napoleónica, por ejemplo, identificando la forma más eficiente de construir fortificaciones, para minimizar los costos de transporte de materiales en Europa.
En 1975, el matemático ruso Leonid Kantorovich compartió el Nobel en ciencias económicas para refinar una rigurosa teoría matemática para la asignación óptima de recursos. “Tenía un ejemplo con panaderías y cafeterías”, dijo el Dr. Figalli. El objetivo de optimización en este caso period asegurarse de que cada panadería entregara todos sus cruasanes, y cada cafetería tenía todos los cruasanes deseados.
“Se llama un problema de optimización de bienestar international en el sentido de que no hay competencia entre las panaderías, no hay competencia entre cafeterías”, dijo. “No es como optimizar la utilidad de un jugador. Está optimizando la utilidad international de la población. Y es por eso que es tan complejo: porque si una panadería o una cafetería hace algo diferente, esto influirá en todos los demás “.
La siguiente conversación con el Dr. Figalli, realizada en un evento en la ciudad de Nueva York, organizada por el Instituto de Ciencias Matemáticas Simons Laufer y en entrevistas antes y después, ha sido condensado y editado por claridad.
¿Cómo terminarías la oración “Las matemáticas son …”? ¿Qué es las matemáticas?
Para mí, las matemáticas son un proceso creativo y un idioma para describir la naturaleza. La razón por la que las matemáticas son la forma en que es porque los humanos se dieron cuenta de que period la forma correcta de modelar la tierra y lo que estaban observando. Lo fascinante es que funciona muy bien.
¿La naturaleza siempre está buscando optimizar?
La naturaleza es naturalmente un optimizador. Tiene un principio de energía mínima, naturaleza por sí misma. Entonces, por supuesto, se vuelve más complejo cuando otras variables entran en la ecuación. Depende de lo que estés estudiando.
Cuando aplicaba un transporte óptimo a la meteorología, estaba tratando de entender el movimiento de las nubes. Period un modelo simplificado donde se descuidaron algunas variables físicas que pueden influir en el movimiento de las nubes. Por ejemplo, puede ignorar la fricción o el viento.
El movimiento de las partículas de agua en las nubes sigue una ruta de transporte óptima. Y aquí está transportando miles de millones de puntos, miles de millones de partículas de agua, a far de millones de puntos, por lo que es un problema mucho mayor que 10 panaderías a 50 cafeterías. Los números crecen enormemente. Es por eso que necesitas matemáticas para estudiarlo.
¿Qué pasa con el transporte óptimo capturó su interés?
Estaba más emocionado por las aplicaciones y por el hecho de que las matemáticas eran muy hermosas y provenían de problemas muy concretos.
Existe un intercambio constante entre lo que las matemáticas pueden hacer y lo que la gente requiere en el mundo actual. Como matemáticos, podemos fantasear. Nos gusta aumentar las dimensiones: trabajamos en un espacio dimensional infinito, que la gente siempre piensa que es un poco loco. Pero es lo que nos permite ahora usar celular y Google y toda la tecnología moderna que tenemos. Todo no existiría si los matemáticos no estuvieran lo suficientemente locos como para salir de los límites estándar de la mente, donde solo vivimos en tres dimensiones. La realidad es mucho más que eso.
En la sociedad, el riesgo siempre es que las personas simplemente ven las matemáticas como importantes cuando ven la conexión con las aplicaciones. Pero es importante más allá de eso: el pensamiento, los desarrollos de una nueva teoría que se produjo a través de las matemáticas con el tiempo que condujo a grandes cambios en la sociedad. Todo es matemática.
Y a menudo las matemáticas eran primero. No es que se despierte con una pregunta aplicada y encuentre la respuesta. Por lo normal, la respuesta ya estaba allí, pero estaba allí porque la gente tenía el tiempo y la libertad de pensar en grande. Al revés puede funcionar, pero de una manera más limitada, el problema por problema. Los grandes cambios generalmente suceden debido al pensamiento libre.
La optimización tiene sus límites. La creatividad no se puede optimizar realmente.
Sí, la creatividad es todo lo contrario. Supongamos que está haciendo una muy buena investigación en un área; Su esquema de optimización te haría quedarte allí. Pero es mejor correr riesgos. El fracaso y la frustración son clave. Grandes avances, grandes cambios, siempre vienen porque en algún momento te sacas de tu zona de confort, y este nunca será un proceso de optimización. La optimización de todo da como resultado oportunidades faltantes a veces. Creo que es importante valorar realmente y tener cuidado con lo que optimiza.
¿En qué estás trabajando en estos días?
Un desafío es utilizar el transporte óptimo en el aprendizaje automático.
Desde un punto de vista teórico, el aprendizaje automático es solo un problema de optimización en el que tiene un sistema, y desea optimizar algunos parámetros o características, para que la máquina haga un cierto número de tareas.
Para clasificar las imágenes, el transporte óptimo mide cuán similares son dos imágenes comparando características como colores o texturas y poniendo estas características en alineación, transportándolas, entre las dos imágenes. Esta técnica ayuda a mejorar la precisión, haciendo que los modelos sean más robustos a los cambios o distorsiones.
Estos son fenómenos de alta dimensión. Está tratando de comprender objetos que tienen muchas características, muchos parámetros y cada característica corresponde a una dimensión. Entonces, si tiene 50 características, está en un espacio 50 dimensional.
Cuanto mayor sea la dimensión donde vive el objeto, más complejo es el problema de transporte óptimo: requiere demasiado tiempo, demasiados datos para resolver el problema, y nunca podrá hacerlo. Esto se llama la maldición de la dimensionalidad. Recientemente, la gente ha estado tratando de buscar formas de evitar la maldición de la dimensionalidad. Una concept es desarrollar un nuevo tipo de transporte óptimo.
¿Qué es la esencia?
Al colapsar algunas características, reduzco mi transporte óptimo a un espacio dimensional inferior. Digamos que tres dimensiones es demasiado grande para mí y quiero que sea un problema unidimensional. Tomo algunos puntos en mi espacio tridimensional y los proyecto en una línea. Resuelvo el transporte óptimo en la línea, calculo lo que debo hacer, y repito esto para muchas, muchas líneas. Luego, usando estos resultados en Dimension One, trato de reconstruir el espacio 3-D unique mediante una especie de pegado juntos. No es un proceso obvio.
Suena como la sombra de un objeto: una sombra bidimensional y cuadrada proporciona información sobre el cubo tridimensional que arroja la sombra.
Es como sombras. Otro ejemplo son las radiografías, que son imágenes en 2-D de su cuerpo 3-D. Pero si hace radiografías en suficientes direcciones, esencialmente puede juntar las imágenes y reconstruir su cuerpo.
¿Conquistar la maldición de la dimensionalidad ayudaría con las deficiencias y limitaciones de la IA?
Si utilizamos algunas técnicas de transporte óptimas, tal vez esto podría hacer que algunos de estos problemas de optimización en el aprendizaje automático sean más robustos, más estables, más confiables, menos sesgados, más seguros. Ese es el meta principio.
Y, en la interacción de las matemáticas puras y aplicadas, aquí la necesidad práctica del mundo actual está motivando nuevas matemáticas?
Exactamente. La ingeniería del aprendizaje automático está muy por delante. Pero no sabemos por qué funciona. Hay pocos teoremas; Comparando lo que puede lograr con lo que podemos probar, hay una gran brecha. Es impresionante, pero matemáticamente sigue siendo muy difícil explicar por qué. Entonces no podemos confiar lo suficiente. Queremos hacerlo mejor en muchas direcciones, y queremos que las matemáticas ayuden.
